1. Հաշվել՝ 3/4 — 5/6 + 7/12
Բերենք ընդհանուր հայտարարի, որն է 12-ը․
(3 · 3) / 12 — (5 · 2) / 12 + 7 / 12 = (9 — 10 + 7) / 12 = 6 / 12 = 1/2 (կամ 0.5)
2. Պարզեցնել արտահայտությունը՝ (2x — 3)² — (x — 4)(x + 4)
Կիրառենք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը․
(4x² — 12x + 9) — (x² — 16) = 4x² — 12x + 9 — x² + 16 = 3x² — 12x + 25
3. Գտնել x-ը․ 3(2x — 1) — 5(x + 2) = 7
Բացենք փակագծերը և խմբավորենք․
6x — 3 — 5x — 10 = 7
x — 13 = 7
x = 20
4. Լուծել հավասարումը․ (x — 2)/3 + (x + 1)/4 = 5
Հավասարման երկու կողմը բազմապատկենք ընդհանուր հայտարարով՝ 12-ով․
4(x — 2) + 3(x + 1) = 60
4x — 8 + 3x + 3 = 60
7x — 5 = 60
7x = 65
x = 65/7
5. Լուծել անհավասարումը․ 3x — 7 > 2x + 5
Անդամները տեղափոխենք․
3x — 2x > 5 + 7
x > 12 կամ x ∈ (12, +∞)
6. Լուծել քառակուսային հավասարումը․ x² — 7x + 12 = 0
Վիետի թեորեմով՝ արմատների արտադրյալը 12 է, իսկ գումարը՝ 7․
x₁ = 3, x₂ = 4
7. Լուծել՝ 2x² — 5x — 3 = 0
Գտնենք դիսկրիմինանտը (D)․
D = (-5)² — 4 · 2 · (-3) = 25 + 24 = 49
x = (5 ± √49) / (2 · 2) = (5 ± 7) / 4
x₁ = 3, x₂ = -1/2 (կամ -0.5)
8. Պարզեցնել՝ (x² — 9) / (x² — 6x + 9) և նշել արտահայտության թույլատրելի արժեքները
• Թույլատրելի արժեքների տիրույթ (ԹԱՏ)․ Հայտարարը չպետք է հավասար լինի զրոյի․
x² — 6x + 9 ≠ 0 => (x — 3)² ≠ 0 => x ≠ 3
• Պարզեցում․
[(x — 3)(x + 3)] / (x — 3)² = (x + 3) / (x — 3)
9. Լուծել անհավասարումը․ x² — 5x + 6 ≤ 0
Վերլուծենք արտադրիչների՝ (x — 2)(x — 3) ≤ 0: Ինտերվալների մեթոդով ստանում ենք․
x ∈ [2, 3]
10. Լուծել համակարգը․ { x + y = 7 ; x² + y² = 25 }
Առաջին հավասարումից տեղադրենք y = 7 — x երկրորդի մեջ․
x² + (7 — x)² = 25 => x² + 49 — 14x + x² = 25 => 2x² — 14x + 24 = 0
Կրճատենք 2-ով՝ x² — 7x + 12 = 0
Արմատներն են՝ x₁ = 3 => y₁ = 4 և x₂ = 4 => y₂ = 3
Պատասխան՝ (3, 4), (4, 3)
11. Գտնել a-ի այն արժեքները, որոնց դեպքում x² — 2ax + a² — 9 = 0 հավասարումն ունի երկու տարբեր իրական արմատ
Հավասարումն ունի երկու տարբեր իրական արմատ, եթե դիսկրիմինանտը մեծ է զրոյից (D > 0)․
D = (-2a)² — 4 · 1 · (a² — 9) = 4a² — 4a² + 36 = 36
Քանի որ 36 > 0 պայմանը միշտ ճիշտ է անկախ a-ից, ուստի՝ a-ի ցանկացած իրական արժեքի դեպքում (a ∈ (-∞, +∞))
12. Լուծել՝ (x + 1) / (x — 2) ≥ 0
Ինտերվալների մեթոդով կրիտիկական կետերն են x = -1 (ներառյալ) և x = 2 (չներառված)․
x ∈ (-∞, -1] ∪ (2, +∞)
13. Լուծել հավասարումը․ √(2x — 1) = x — 2
Երկու կողմը բարձրացնենք քառակուսի (պայմանով, որ x — 2 ≥ 0 => x ≥ 2)․
2x — 1 = (x — 2)² => 2x — 1 = x² — 4x + 4 => x² — 6x + 5 = 0
Արմատներն են x = 1 և x = 5: Ստուգելով x ≥ 2 պայմանը՝ x = 1-ը կողմնակի արմատ է․
Պատասխան՝ x = 5
14. Լուծել՝ √(x + 5) + √(x — 4) = 3
ԹԱՏ՝ x ≥ 4: Եթե տեղադրենք x = 4, կստանանք √9 + √0 = 3 => 3 = 3 (ճիշտ է)․
Քանի որ ֆունկցիան ձախ կողմում խիստ աճող է, ապա x > 4 դեպքում արժեքը միշտ մեծ կլինի 3-ից․
Պատասխան՝ x = 4
15. Գտնել ֆունկցիայի որոշման տիրույթը․ f(x) = √(2x — 6) / (x² — 9)
Պետք է տեղի ունենան հետևյալ պայմանները․
1) Արմատատակ արտահայտությունը՝ 2x — 6 ≥ 0 => x ≥ 3
2) Հայտարարը՝ x² — 9 ≠ 0 => x ≠ ±3
Համադրելով այս պայմանները՝ ստանում ենք․
Պատասխան՝ x > 3 կամ x ∈ (3, +∞)
16. Տրված է f(x) = x² — 6x + 11. Գտնել ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը
Առանձնացնենք լրիվ քառակուսի․
f(x) = (x² — 6x + 9) + 2 = (x — 3)² + 2
Քանի որ (x — 3)² ≥ 0, ապա արտահայտության փոքրագույն արժեքը կլինի 2 (երբ x = 3)․
Պատասխան՝ 2
17. Լուծել անհավասարումը․ (x² — 4x + 3) / (x² — 9) ≤ 0
Վերլուծենք արտադրիչների․
[(x — 1)(x — 3)] / [(x — 3)(x + 3)] ≤ 0
x ≠ 3 պայմանի դեպքում կրճատենք (x — 3)-ը՝ (x — 1) / (x + 3) ≤ 0
Ինտերվալների մեթոդով ստանում ենք․
Պատասխան՝ x ∈ (-3, 1]
18. Գտնել բոլոր x-երը, որոնց համար |x — 2| + |x + 1| = 7
Բացենք մոդուլները ըստ միջակայքերի (x = -1 և x = 2 կետերով)․
1) x < -1 ․ -(x — 2) — (x + 1) = 7 => -2x + 1 = 7 => x = -3 (համապատասխանում է)
2) -1 ≤ x ≤ 2 ․ -(x — 2) + (x + 1) = 7 => 3 = 7 (լուծում չկա)
3) x > 2 ․ (x — 2) + (x + 1) = 7 => 2x — 1 = 7 => x = 4 (համապատասխանում է)
Պատասխան՝ x = -3, x = 4
19. Պարամետրի համար գտնել a-ի այն արժեքները, որոնց դեպքում x² — (a + 2)x + 2a = 0 հավասարման երկու արմատներն էլ դրական են
Ձևափոխենք հավասարումը՝ արտադրիչների վերլուծելով․
x² — ax — 2x + 2a = 0 => x(x — a) — 2(x — a) = 0 => (x — 2)(x — a) = 0
Արմատներն են x₁ = 2 (որը միշտ դրական է) և x₂ = a: Որպեսզի երկրորդ արմատն էլ լինի դրական, պետք է a > 0․
Պատասխան՝ a > 0 կամ a ∈ (0, +∞)
20. Լուծել հավասարումը․ √(x + 3) + √(7 — x) = √10
ԹԱՏ՝ x ∈ [-3, 7]: Երկու կողմը բարձրացնենք քառակուսի․
(x + 3) + (7 — x) + 2√((x + 3)(7 — x)) = 10
10 + 2√((x + 3)(7 — x)) = 10 => 2√((x + 3)(7 — x)) = 0
(x + 3)(7 — x) = 0
Պատասխան՝ x₁ = -3, x₂ = 7
